/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000038*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓G␈↓ ↓H␈εεReprin␈α␈ted␈αλf␈α↓r␈α␈om␈αλJ␈↓ ∧→␈εεC␈↓ ¬N␈εεT␈↓ πW␈εεV␈α↓o␈α␈l.␈α	8␈α␈2,␈αλNo␈α␈.␈α	6␈α␈,␈α	N␈α␈o␈α␈vem␈α␈ber␈αλ197␈α␈6
␈β↓J␈↓ βε␈επOURN␈α␈AL␈αλO␈α␈F␈↓ ∧-␈επO␈α␈MPLI␈α␈CA␈α}TED␈↓ ¬a␈επHEO␈α␈R␈α}Y
␈β↓c␈↓ ↓H␈εεAll␈αλRigh␈α␈ts␈αλReserv␈α␈ed␈α	by␈αλAne␈α↓mic␈αλP␈α↓r␈α␈e␈α↓s␈α␈s,␈α	N␈α␈ew␈α	Lo␈α␈ndon␈αλand␈αλY␈α↓o␈α␈rk␈ε␈↓ λ8Prin␈α␈ted␈α	in␈αλPr␈α␈o␈α↓v␈α␈idenc␈α↓e
␈ββ&␈↓ ∧
␈ε≥Nonl␈α↓inear␈αEr␈α␈godic␈α
Theor␈α␈ems
␈ββw␈↓ ∧
␈ε∞H.␈αBr␈↓ ∧f␈ε∞∞␈↓ ∧f␈ε∞e␈↓ ∧x␈ε∞zis␈αa␈α␈nd␈αF.␈αE.␈αBro␈α␈wder
␈β∧M␈↓ ↓␈␈ε⊃Departm␈α␈en␈α␈t␈α
o␈α↓f␈α
Ma␈α↓t␈α␈hemati␈α␈cs,␈α	U␈α↓ni␈α␈v␈α␈ersi␈α␈ty␈α
of␈αChi␈α␈cago␈α↓,␈α	Chic␈α␈a␈α↓go,␈α
Ill␈α␈inoi␈α␈s␈α6063␈α↓7
␈β¬␈↓ ∧β␈ε⊃Com␈α␈m␈α␈uni␈α␈cated␈α
by␈α
Ale␈α␈xa␈α↓ndra␈α
B␈α↓e␈α␈ll␈α␈ow
␈β¬3␈↓ ∧←␈ε∧R␈α␈ece␈α␈iv␈α␈ed␈α
May␈α
1␈α↓7,␈α
197␈α↓6
␈βε,␈↓ α,␈ε∧I␈α↓n␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∂rec␈α␈en␈α␈t␈α∂note␈α␈s␈α∂([1]␈α␈,␈α⊂[␈α␈2]),␈ε≡␈α∂J-␈α↓B.␈α∞B␈α↓a␈α␈illon␈ε∧␈α∂pro␈α␈v␈α␈ed␈α∂t␈α␈he␈α∂|r␈α␈st␈α∂e␈α␈rg␈α↓odi␈α␈c
␈βεP␈↓ αλ␈ε∧theorem␈α␈s␈αεf␈α↓or␈αεnonli␈α␈near␈αεmappings␈αεi␈α␈n␈απHi␈α␈lbe␈α␈rt␈αεspace.␈αλWe␈α¬sim␈α␈pli␈α␈f␈α↓y␈αεthe␈α¬a␈α↓rgum␈α␈en␈α␈t
␈βεt␈↓ αλ␈ε∧here␈απand␈απobta␈α↓i␈α␈n␈απa␈α↓n␈απe␈α␈xtensi␈α␈on␈αλof␈ε≡␈απB␈α↓a␈α␈illon␈ε∧'s␈απthe␈α␈o␈α↓re␈α␈ms␈απfrom␈απthe␈αεusua␈α↓l␈αεCes␈↓ 	@␈ε∧␈
␈↓ 	@␈ε∧a␈↓ 	O␈ε∧ro
␈βεx␈↓ λ7␈ε↓P
␈βπ␈↓ λ]␈ε~1
␈βπ∩␈↓ 	]␈εk
␈βπ_␈↓ αλ␈ε∧means␈αλo␈α↓f␈αλergo␈α↓di␈α␈c␈αλtheory␈α	t␈α␈o␈α	g␈α↓e␈α␈neral␈αλave␈α␈rag␈α↓i␈α␈ng␈α	proce␈α␈sses␈↓ πc␈ε
A␈↓ λ⊂␈ε∧=␈↓ 	∃␈ε
a␈↓ 	H␈ε
T
␈βπ ␈↓ πw␈εn
␈βπ!␈↓ 	#␈εn␈↓ 	3␈εε,␈↓ 	:␈εk
␈βπ"␈↓ β&␈ε↓P
␈βπ)␈↓ λ]␈εk␈↓ λj␈εε=0
␈βπA␈↓ αλ␈ε∧(␈α↓0␈ε_␈αλ∀␈↓ αR␈ε
a␈↓ β∧␈ε∧,␈↓ ∧∧␈ε
a␈↓ ∧?␈ε∧=␈αλ1␈α↓).
␈βπK␈↓ α`␈εn␈↓ αp␈εε,␈↓ αw␈εk␈↓ ∧∩␈εn␈↓ ∧#␈εε,␈↓ ∧*␈εk
␈βπR␈↓ βL␈εk␈↓ βY␈ε~∃␈εε0
␈βλC␈↓ ↓l␈ε∞Th␈α␈eorem␈α∞1.␈ε∂␈α≠Let␈↓ ∧ε␈ελH␈↓ ∧1␈ε∂be␈α∞a␈α
Hilbert␈α
space,␈↓ εw␈ελC␈↓ π!␈ε∂a␈α
closed␈α∞bounded␈α
con␈α␈v␈α␈ex
␈βλn␈↓ ↓H␈ε∂subset␈αof␈↓ α←␈ελH␈↓ α|␈ε∂,␈↓ β≡␈ελT␈↓ βC␈ε∂a␈αnonexpansiv␈α␈e␈αself␈αmap␈αof␈↓ εx␈ελC␈↓ π∃␈ε∂.␈αSuppose␈αthat␈αas␈↓ 	/␈ελn␈↓ 	O␈ε⊗!␈α
1␈ε∂,
␈βλ⎇␈↓ ¬F␈ε↓P
␈β	⊂␈↓ ¬l␈ε→1
␈β	∀␈↓ λ∪␈ε¬+
␈β	→␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α∂␈ε⊗!␈εα␈α∞0␈ε∂␈α∞for␈α∂each␈↓ βp␈ελk␈↓ ∧α␈ε∂,␈α∂and␈↓ ∧c␈ελ␈
␈↓ ¬∀␈εα=␈↓ ε&␈εα(␈↓ ε2␈ελa␈↓ π ␈ε⊗␈␈↓ πM␈ελa␈↓ λπ␈εα)␈↓ λ=␈ε⊗!␈εα␈α∞0␈ε∂.␈α∪Then␈α∂for
␈β	'␈↓ ↓X␈εn␈↓ ↓j␈ε¬,␈↓ ↓r␈εk␈↓ ∧t␈εn␈↓ εB␈εn␈↓ εT␈ε¬,␈↓ ε\␈εk␈↓ εk␈ε¬+1␈↓ π↑␈εn␈↓ πp␈ε¬,␈↓ πx␈εk
␈β	)␈↓ ∧␈ε↓P
␈β	,␈↓ ¬l␈εk␈↓ ¬{␈ε¬=␈α␈0
␈β	;␈↓ ∧&␈ε→1
␈β	@␈↓ ¬8␈εk
␈β	E␈↓ ↓H␈ε∂each␈↓ α∃␈ελx␈↓ α0␈ε∂in␈↓ αV␈ελC␈↓ αs␈ε∂,␈↓ β
␈ελA␈↓ β5␈ελx␈↓ βR␈εα=␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬∨␈ελT␈↓ ¬G␈ελx␈↓ ¬b␈ε∂con␈α␈v␈α␈erges␈απw␈α␈eakly␈αλto␈αλa␈αλ|x␈α␈ed␈αλpoin␈α␈t␈αλof␈↓ 
λ␈ελT␈↓ 
!␈ε∂.
␈β	R␈↓ β$␈εn␈↓ ∧w␈εn␈↓ ¬	␈ε¬,␈↓ ¬⊃␈εk
␈β	W␈↓ ∧&␈εk␈↓ ∧5␈ε¬=0
␈β
λ␈↓ ↓l␈εαThe␈α
proof␈αof␈α
Theorem␈α1␈α
depends␈αupon␈αan␈α
extension␈αof␈ε∞␈α
Opia␈α␈l␈εα's␈αlemma
␈β
3␈↓ ↓H␈εα[3].
␈β
v␈↓ ↓l␈ε∞Lemma␈α1.␈ε∂␈α~Let␈ε⊗␈αf␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧∂␈ε⊗g␈ε∂␈α
and␈ε⊗␈α
f␈↓ ¬π␈ελy␈↓ ¬&␈ε⊗g␈ε∂␈α
be␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
sequences␈αin␈↓ λπ␈ελH␈↓ λ$␈ε∂,␈↓ λI␈ελF␈↓ λn␈ε∂a␈α
nonempty
␈ββ␈↓ ∧↓␈εk␈↓ ¬_␈εk
␈β¬␈↓ ε6␈ε↓S
␈β!␈↓ ↓H␈ε∂subset␈αof␈↓ α`␈ελH␈↓ α⎇␈ε∂,␈↓ β ␈ελC␈↓ β↑␈ε∂the␈αcon␈α␈v␈α␈ex␈αclosure␈αof␈↓ π_␈ε⊗f␈↓ π*␈ελx␈↓ πF␈ε⊗g␈ε∂.␈αSuppose␈αthat
␈β.␈↓ β8␈εm␈↓ π;␈εi
␈β4␈↓ εT␈εj␈↓ εb␈ε→∃␈↓ ε}␈εm
␈βY␈↓ ¬D␈ε¬2
␈β↑␈↓ ↓}␈εα(a)␈↓ α4␈ε∂For␈αeach␈↓ βJ␈ελf␈↓ βg␈ε∂in␈↓ ∧⊃␈ελF␈↓ ∧*␈ε∂,␈ε⊗␈α→j␈↓ ∧W␈ελx␈↓ ∧⎇␈ε⊗␈␈↓ ¬)␈ελf␈↓ ¬:␈ε⊗j␈↓ ¬]␈ε⊗!␈↓ ε␈ελp␈↓ ε≥␈εα(␈↓ ε)␈ελf␈↓ ε:␈εα)␈α
<␈α
+␈ε⊗1␈ε∂;
␈βl␈↓ ∧h␈εj
␈β
␈↓ ↓|␈εα(b)␈↓ α4␈εαdist␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελy␈↓ β→␈εα,␈↓ β)␈ελC␈↓ β[␈εα)␈ε⊗␈α
!␈εα␈α
0␈ε∂␈αas␈↓ ∧i␈ελk␈↓ ¬¬␈ε⊗!␈α
1␈ε∂␈αfor␈αeach␈↓ εm␈ελm␈↓ π
␈ε∂;
␈β↔␈↓ β␈εk␈↓ βA␈εm
␈β5␈↓ α␈εα(c)␈↓ α4␈ε∂An␈α␈y␈αw␈α␈eak␈αlimit␈αof␈αan␈αin|nite␈αsubsequence␈αof␈ε⊗␈αf␈↓ λ∞␈ελy␈↓ λ-␈ε⊗g␈ε∂␈αlies␈αin␈↓ 	3␈ελF␈↓ 	L␈ε∂.
␈βB␈↓ λ∨␈εk
␈βx␈↓ ↓H␈ε∂Then␈↓ α&␈ελy␈↓ αQ␈ε∂con␈α␈v␈α␈erges␈αw␈α␈eakly␈αto␈αa␈αpoin␈α␈t␈αof␈↓ ε=␈ελF␈↓ εV␈ε∂.
␈β
ε␈↓ α7␈εk
␈β
;␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof␈αof␈αLemma␈α1:␈εα␈α_Since␈ε⊗␈αf␈↓ ¬+␈ελy␈↓ ¬K␈ε⊗g␈εα␈αis␈αbounded,␈αit␈αsu}ces␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈αif
␈β
H␈↓ ¬<␈εk
␈β
f␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓c␈εαand␈↓ α'␈ελg␈↓ αB␈εαin␈↓ αj␈ελF␈↓ β
␈εαare␈α
w␈α␈eak␈α	limits␈α
of␈α
in|nite␈α
subsequences␈α
of␈ε⊗␈α
f␈↓ λ1␈ελy␈↓ λP␈ε⊗g␈εα,␈αthen␈↓ 	F␈ελf␈↓ 	b␈εα=␈↓ 
⊂␈ελg␈↓ 
!␈εα.
␈β
t␈↓ λB␈εk
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εαFor␈αeach␈↓ α↑␈ελf␈↓ αo␈εα,
␈β∞c␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ¬≥␈ε¬2␈↓ εJ␈ε¬2
␈β∞i␈↓ αi␈ε⊗j␈↓ αs␈ελx␈↓ β→␈ε⊗␈␈↓ βE␈ελf␈↓ βV␈ε⊗j␈↓ βx␈εα=␈ε⊗␈α
j␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧V␈ε⊗␈␈↓ ¬α␈ελg␈↓ ¬∪␈ε⊗j␈↓ ¬4␈εα+␈ε⊗␈αλj␈↓ ¬j␈ελg␈↓ εβ␈ε⊗␈␈↓ ε/␈ελf␈↓ ε@␈ε⊗j␈↓ ε`␈εα+␈αλ2(␈↓ π*␈ελx␈↓ πP␈ε⊗␈␈↓ π|␈ελg␈↓ λ
␈εα,␈↓ λ≥␈ελg␈↓ λ6␈ε⊗␈␈↓ λb␈ελf␈↓ λt␈εα).
␈β∞v␈↓ ββ␈εj␈↓ ∧A␈εj␈↓ π;␈εj
␈β∂@␈↓ ↓H␈εαFor␈αa␈αgiv␈α␈en␈↓ β	␈ελ∂␈↓ β!␈εα>␈α
0,␈αthere␈αexists␈↓ ¬7␈ελm␈↓ ¬V␈εα(␈↓ ¬b␈ελ∂␈↓ ¬p␈εα)␈αsuch␈αthat␈αfor␈↓ π`␈ελj␈↓ π{␈ε⊗∃␈↓ λ)␈ελm␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελ∂␈↓ λb␈εα),
␈β⊂⊃␈↓ ∧b␈ε¬2␈↓ λ→␈ε¬2
␈β⊂↔␈↓ αm␈ε⊗j␈↓ α{␈ελp␈↓ β∞␈εα(␈↓ β~␈ελg␈↓ β+␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈αλj␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧≠␈ε⊗␈␈↓ ∧G␈ελg␈↓ ∧X␈ε⊗j␈↓ ∧t␈ε⊗j␈↓ ¬␈εα<␈↓ ¬:␈ελ∂␈↓ ¬H␈εα;␈↓ ε$␈ε⊗j␈↓ ε2␈ελp␈↓ εD␈εα(␈↓ εP␈ελf␈↓ εb␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈αλj␈↓ π,␈ελx␈↓ πQ␈ε⊗␈␈↓ π⎇␈ελf␈↓ λ∂␈ε⊗j␈↓ λ+␈ε⊗j␈↓ λC␈εα<␈↓ λq␈ελ∂␈↓ λ␈␈εα.
␈β⊂%␈↓ ∧¬␈εj␈↓ π<␈εj
␈β⊂o␈↓ ¬b␈ε∧9␈α↓59
␈β⊃
␈↓ ↓H␈εεC␈α␈opyrig␈α␈ht␈ε~␈αλ⎇␈εε␈αλ197␈α␈6␈αλby␈α	Anemic␈α	Press,␈αλInc␈α↓.
␈β⊃&␈↓ ↓H␈εεAll␈αλrigh␈α␈ts␈αλof␈αλreproductio␈α␈n␈α	in␈αλan␈α␈y␈αλf␈α↓o␈α␈rm␈α	r␈α␈e␈α↓s␈α␈e␈α↓r␈α␈ved.
␈β∪↓

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα960␈ε∞␈↓ ∧qbr␈↓ ¬↔␈ε∞∞␈↓ ¬↔␈ε∞e␈↓ ¬)␈ε∞zis␈αa␈α␈nd␈αbro␈α␈wder
␈βα(␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α
␈ελK␈↓ α;␈εαbe␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈ex␈αset␈αof␈αall␈↓ ¬5␈ελu␈↓ ¬V␈εαsuch␈αthat
␈βα5␈↓ α#␈ε∂
␈βαa␈↓ πu␈ε¬2
␈βαg␈↓ α␈␈ε⊗j␈↓ β
␈εα2(␈↓ β+␈ελu␈↓ βH␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελg␈↓ ∧ε␈εα,␈↓ ∧⊗␈ελg␈↓ ∧/␈ε⊗␈␈↓ ∧[␈ελf␈↓ ∧l␈εα)␈αλ+␈↓ ¬,␈ελp␈↓ ¬>␈εα(␈↓ ¬J␈ελg␈↓ ¬[␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε≠␈ελp␈↓ ε.␈εα(␈↓ ε:␈ελf␈↓ εK␈εα)␈αλ+␈ε⊗␈αλj␈↓ π∃␈ελg␈↓ π.␈ε⊗␈␈↓ πZ␈ελf␈↓ πk␈ε⊗j␈↓ λλ␈ε⊗j␈↓ λ ␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ λ`␈ελ∂␈↓ λn␈εα.
␈ββ
␈↓ βk␈ε↓S
␈ββ&␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α(␈ελK␈↓ α[␈εαcon␈α␈tains␈↓ ∧l␈ε⊗f␈↓ ∧}␈ελx␈↓ ¬≤␈ε⊗g␈εα,␈α∞it␈α∂con␈α␈tains␈↓ ε|␈ελC␈↓ πM␈εα.␈α∪There␈α∞exists␈↓ 	;␈ελk␈↓ 	e␈εαsuch
␈ββ3␈↓ αA␈ε∂␈↓ ¬∞␈εj␈↓ 	K␈ε∂
␈ββ4␈↓ π∀␈εm␈↓ π.␈ε¬(␈↓ π8␈ε∂␈↓ πD␈ε¬)
␈ββ9␈↓ ∧	␈εj␈↓ ∧⊗␈ε→∃␈↓ ∧3␈εm␈↓ ∧M␈ε¬(␈↓ ∧V␈ε∂␈↓ ∧b␈ε¬)
␈ββV␈↓ ↓H␈εαthat␈α∞for␈↓ αS␈ελk␈↓ αs␈ε⊗∃␈↓ β%␈ελk␈↓ βO␈εαw␈α␈e␈α∂can␈α∞|nd␈↓ ¬⊗␈ελu␈↓ ¬H␈εαin␈↓ ¬t␈ελC␈↓ εT␈εαsuch␈α∞that␈ε⊗␈α∂j␈↓ λβ␈ελy␈↓ λ,␈ε⊗␈␈↓ λZ␈ελu␈↓ λ⎇␈ε⊗j␈α∞∀␈↓ 	G␈ελ∂␈↓ 	U␈εα.␈α∀For
␈ββc␈↓ β5␈ε∂␈↓ ¬*␈εk␈↓ λ∀␈εk␈↓ λn␈εk
␈ββd␈↓ ε␈εm␈↓ ε&␈ε¬(␈↓ ε0␈ε∂␈↓ ε<␈ε¬)
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓c␈ε⊗∃␈↓ α⊃␈ελk␈↓ α-␈εα,␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β∧∞␈↓ α!␈ε∂
␈β∧:␈↓ π≠␈ε¬2
␈β∧@␈↓ α≠␈ε⊗j␈↓ α)␈εα2(␈↓ αG␈ελy␈↓ αn␈ε⊗␈␈↓ β~␈ελg␈↓ β+␈εα,␈↓ β;␈ελg␈↓ βT␈ε⊗␈␈↓ ∧␈ελf␈↓ ∧∩␈εα)␈αλ+␈↓ ∧R␈ελp␈↓ ∧d␈εα(␈↓ ∧p␈ελg␈↓ ¬↓␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬A␈ελp␈↓ ¬S␈εα(␈↓ ¬←␈ελf␈↓ ¬q␈εα)␈αλ+␈ε⊗␈αλj␈↓ ε;␈ελg␈↓ εT␈ε⊗␈␈↓ π␈ελf␈↓ π⊃␈ε⊗j␈↓ π-␈ε⊗j␈↓ πE␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ λ¬␈ελ∂␈↓ λ≠␈εα+␈αλ2␈↓ λY␈ελ∂␈↓ λg␈ε⊗j␈↓ λq␈ελg␈↓ 	␈ε⊗␈␈↓ 	7␈ελf␈↓ 	H␈ε⊗j␈εα.
␈β∧M␈↓ αX␈εk
␈β∧␈␈↓ ↓H␈εαConsider␈α
an␈αin|nite␈αsubsequence␈ε⊗␈α
f␈↓ ¬b␈ελy␈↓ ε␈ε⊗g␈εα␈α
for␈αwhich␈α(␈↓ πR␈ελy␈↓ λ↓␈ε⊗␈␈↓ λ+␈ελg␈↓ λ<␈εα,␈↓ λL␈ελg␈↓ λd␈ε⊗␈␈↓ 	∞␈ελf␈↓ 	∨␈εα)␈ε⊗␈α
!␈εα␈α
0.␈αIn
␈β¬␈↓ ¬s␈εk␈↓ πc␈εk
␈β¬∃␈↓ ε↓␈ε
s␈↓ πp␈ε
s
␈β¬*␈↓ ↓H␈εαthe␈αlimit
␈β¬O␈↓ επ␈ε¬2
␈β¬U␈↓ β/␈ε⊗j␈↓ β=␈ελp␈↓ βP␈εα(␈↓ β\␈ελg␈↓ βm␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧-␈ελp␈↓ ∧?␈εα(␈↓ ∧K␈ελf␈↓ ∧\␈εα)␈αλ+␈ε⊗␈αλj␈↓ ¬&␈ελg␈↓ ¬?␈ε⊗␈␈↓ ¬k␈ελf␈↓ ¬⎇␈ε⊗j␈↓ ε→␈ε⊗j␈↓ ε1␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ εq␈ελ∂␈↓ ππ␈εα+␈αλ2␈↓ πE␈ελ∂␈↓ πS␈ε⊗j␈↓ π]␈ελg␈↓ πv␈ε⊗␈␈↓ λ"␈ελf␈↓ λ3␈ε⊗j␈εα.
␈βε
␈↓ λL␈ε¬2
␈βε∂␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α*␈ελ∂␈↓ αI␈εα>␈α⊃0␈α⊂is␈α⊂arbitrary,␈α∩it␈α⊂follo␈α␈ws␈α⊂that␈↓ εg␈ελp␈↓ εz␈εα(␈↓ πε␈ελg␈↓ π↔␈εα)␈α
+␈ε⊗␈αj␈↓ πf␈ελg␈↓ λα␈ε⊗␈␈↓ λ1␈ελf␈↓ λB␈ε⊗j␈↓ λl␈εα=␈↓ 	!␈ελp␈↓ 	3␈εα(␈↓ 	?␈ελf␈↓ 	P␈εα).␈α→By
␈βε5␈↓ ∧V␈ε¬2␈↓ πL␈ε¬2
␈βε:␈↓ ↓H␈εαsymmetry,␈↓ α|␈ελp␈↓ β∞␈εα(␈↓ β~␈ελf␈↓ β+␈εα)␈αλ+␈ε⊗␈αλj␈↓ βu␈ελg␈↓ ∧∞␈ε⊗␈␈↓ ∧:␈ελf␈↓ ∧L␈ε⊗j␈↓ ∧n␈εα=␈↓ ¬≤␈ελp␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελg␈↓ ¬K␈εα).␈αHence,␈ε⊗␈αj␈↓ εk␈ελf␈↓ π¬␈ε⊗␈␈↓ π1␈ελg␈↓ πB␈ε⊗j␈↓ πd␈εα=␈α
0,␈↓ λG␈ελf␈↓ λc␈εα=␈↓ 	⊃␈ελg␈↓ 	"␈εα.
␈βε?␈↓ 	S␈∧ε?	S≠∂
␈βεv␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof␈αof␈αTh␈α␈eorem␈α1:␈εα␈α⊗We␈αapply␈αLemma␈α
1␈αwith␈↓ πm␈ελF␈↓ λ⊃␈εαthe␈α
|x␈α␈ed␈αpoin␈α␈t␈αset
␈βπ¬␈↓ ∧s␈ε↓P
␈βπ≤␈↓ βc␈εk␈↓ λ⊂␈ε¬2
␈βπ!␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓o␈ελT␈↓ α⊃␈εαin␈↓ α8␈ελC␈↓ αV␈εα,␈↓ αr␈ελx␈↓ β≠␈εα=␈↓ βI␈ελT␈↓ βq␈ελx␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧_␈ελy␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ¬X␈ελa␈↓ ε∩␈ελx␈↓ ε1␈εα.␈αSince␈ε⊗␈α	j␈↓ π+␈ελx␈↓ πM␈ε⊗␈␈↓ πu␈ελf␈↓ λε␈ε⊗j␈↓ λ(␈εαdecreases␈α	with␈↓ 
⊂␈ελj␈↓ 
!␈εα,
␈βπ.␈↓ ββ␈εk␈↓ ∧)␈εn␈↓ ¬i␈εn␈↓ ¬{␈ε¬,␈↓ εβ␈εk␈↓ ε"␈εk␈↓ π;␈εj
␈βπ4␈↓ ¬→␈εk␈↓ ¬'␈ε→∃␈ε¬0
␈βπL␈↓ ↓H␈εαit␈α
con␈α␈v␈α␈erges␈α
to␈↓ β4␈ελp␈↓ βG␈εα(␈↓ βS␈ελf␈↓ βd␈εα)␈α
<␈α
+␈ε⊗1␈εα.␈αSince␈↓ ¬b␈ελa␈↓ ε%␈ε⊗!␈εα␈α
0␈α
as␈↓ π→␈ελn␈↓ π9␈ε⊗!␈α
1␈εα,␈↓ λ*␈εαdist␈↓ λd␈εα(␈↓ λp␈ελy␈↓ 	∪␈εα,␈↓ 	#␈ελC␈↓ 	U␈εα)␈ε⊗␈α
!␈εα␈α
0
␈βπY␈↓ ¬r␈εn␈↓ ε∧␈ε¬,␈↓ ε␈εk␈↓ 	↓␈εn␈↓ 	;␈εm
␈βπw␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελn␈↓ ↓s␈ε⊗!␈εα␈α
+␈ε⊗1␈εα).␈αTo␈α	sho␈α␈w␈α	that␈αλ(c)␈α	holds,␈α	it␈α	su}ces␈α	to␈αλpro␈α␈v␈α␈e␈α	that␈ε⊗␈α	j␈↓ λi␈ελy␈↓ 	∂␈ε⊗␈␈↓ 	7␈ελT␈↓ 	P␈ελy␈↓ 	s␈ε⊗j␈α
!
␈βλ¬␈↓ λz␈εn␈↓ 	a␈εn
␈βλ"␈↓ ↓H␈εα0␈αas␈↓ α∩␈ελn␈↓ α1␈ε⊗!␈εα␈α
+␈ε⊗1␈εα.␈αFor␈αan␈α␈y␈↓ ∧F␈ελu␈↓ ∧h␈εαin␈↓ ¬∩␈ελH␈↓ ¬0␈εα,
␈βλH␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ¬Y␈ε↓␈
␈βλZ␈↓ β↑␈ε↓X␈↓ ¬i␈ε¬2␈↓ ε=␈ε↓X
␈βλ↑␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ¬Y␈ε↓␈
␈βλs␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ¬Y␈ε↓␈
␈βλw␈↓ α{␈ε¬2
␈βλ⎇␈↓ ↓{␈ε⊗j␈↓ α¬␈ελy␈↓ α/␈ε⊗␈␈↓ α[␈ελu␈↓ αq␈ε⊗j␈↓ β∪␈εα=␈↓ ∧≠␈ελa␈↓ ∧T␈εα(␈↓ ∧`␈ελx␈↓ ¬λ␈ε⊗␈␈↓ ¬4␈ελu␈↓ ¬I␈εα)␈↓ εα␈εα=␈↓ π¬␈ελa␈↓ π=␈ελa␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελx␈↓ λ(␈ε⊗␈␈↓ λT␈ελu␈↓ λi␈εα,␈↓ λy␈ελx␈↓ 	 ␈ε⊗␈␈↓ 	L␈ελu␈↓ 	b␈εα).
␈β		␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ¬Y␈ε↓␈
␈β	␈↓ α⊗␈εn␈↓ ∧,␈εn␈↓ ∧>␈ε¬,␈↓ ∧F␈εk␈↓ ∧q␈εk␈↓ π∃␈εn␈↓ π'␈ε¬,␈↓ π/␈εj␈↓ πM␈εn␈↓ π←␈ε¬,␈↓ πg␈εk␈↓ λ∩␈εj␈↓ 	
␈εk
␈β	/␈↓ β[␈εk␈↓ βj␈ε→∃␈ε¬0␈↓ ε0␈εj␈↓ ε=␈ε¬,␈↓ εE␈εk␈↓ εS␈ε→∃␈ε¬0
␈β	r␈↓ ¬c␈ε¬2␈↓ π"␈ε¬2␈↓ λj␈ε¬2
␈β	w␈↓ ↓H␈εαSince␈α2(␈↓ αD␈ελx␈↓ αi␈ε⊗␈␈↓ β∃␈ελu␈↓ β+␈εα,␈↓ β;␈ελx␈↓ βb␈ε⊗␈␈↓ ∧∞␈ελu␈↓ ∧$␈εα)␈α
=␈ε⊗␈α
j␈↓ ∧r␈ελx␈↓ ¬_␈ε⊗␈␈↓ ¬D␈ελu␈↓ ¬Y␈ε⊗j␈↓ ¬z␈εα+␈ε⊗␈αλj␈↓ ε0␈ελx␈↓ εW␈ε⊗␈␈↓ πβ␈ελu␈↓ π_␈ε⊗j␈↓ π9␈ε⊗␈␈αλj␈↓ πo␈ελx␈↓ λ∃␈ε⊗␈␈↓ λA␈ελx␈↓ λ`␈ε⊗j␈↓ λx␈εα,
␈β
∧␈↓ αT␈εj␈↓ βL␈εk␈↓ ¬α␈εj␈↓ ε@␈εk␈↓ π␈␈εj␈↓ λQ␈εk
␈β
_␈↓ ¬D␈ε↓X
␈β
5␈↓ ∧c␈ε¬2␈↓ π7␈ε¬2
␈β
;␈↓ βP␈εα2␈ε⊗j␈↓ βl␈ελy␈↓ ∧↔␈ε⊗␈␈↓ ∧C␈ελu␈↓ ∧Y␈ε⊗j␈↓ ∧{␈εα=␈α
2␈↓ ε↓␈ελa␈↓ ε:␈ε⊗j␈↓ εD␈ελx␈↓ εk␈ε⊗␈␈↓ π↔␈ελu␈↓ π-␈ε⊗j␈↓ πM␈ε⊗␈␈↓ πy␈ελr␈↓ λ_␈εα,
␈β
H␈↓ β⎇␈εn␈↓ ε∩␈εn␈↓ ε$␈ε¬,␈↓ ε,␈εk␈↓ εU␈εk␈↓ λε␈εn
␈β
l␈↓ ¬A␈εk␈↓ ¬P␈ε→∃␈ε¬0
␈β→␈↓ βε␈ε↓P
␈β0␈↓ ¬w␈ε¬2
␈β5␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελr␈↓ αX␈εα=␈↓ ∧↓␈ελa␈↓ ∧9␈ελa␈↓ ∧r␈ε⊗j␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬"␈ε⊗␈␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬m␈ε⊗j␈↓ εε␈εα.␈αIf␈αw␈α␈e␈αchoose␈↓ πg␈ελu␈↓ λε␈εα=␈↓ λ4␈ελy␈↓ λW␈εα,␈αthen
␈βB␈↓ α<␈εn␈↓ ∧∩␈εn␈↓ ∧$␈ε¬,␈↓ ∧,␈εj␈↓ ∧J␈εn␈↓ ∧\␈ε¬,␈↓ ∧d␈εk␈↓ ¬
␈εj␈↓ ¬←␈εk␈↓ λE␈εn
␈βH␈↓ β,␈εj␈↓ β:␈ε¬,␈↓ βB␈εk␈↓ βP␈ε→∃␈ε¬0
␈β[␈↓ ¬&␈ε↓X
␈βx␈↓ π&␈ε¬2
␈β}␈↓ ∧4␈ελr␈↓ ∧]␈εα=␈α
2␈↓ ¬c␈ελa␈↓ ε≤␈ε⊗j␈↓ ε&␈ελx␈↓ εM␈ε⊗␈␈↓ εy␈ελy␈↓ π≤␈ε⊗j␈↓ π4␈εα.
␈β␈↓ ∧A␈εn␈↓ ¬s␈εn␈↓ ε¬␈ε¬,␈↓ ε
␈εk␈↓ ε6␈εk␈↓ π
␈εn
␈β/␈↓ ¬#␈εk␈↓ ¬1␈ε→∃␈ε¬0
␈βr␈↓ ↓H␈εαIf␈αw␈α␈e␈αset␈↓ αY␈ελu␈↓ αx␈εα=␈↓ β&␈ελT␈↓ β@␈ελy␈↓ βb␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β
␈↓ βQ␈εn
␈β
⊂␈↓ εε␈ε↓X
␈β
-␈↓ β↓␈ε¬2␈↓ ¬)␈ε¬2␈↓ λd␈ε¬2
␈β
3␈↓ ↓H␈εα2␈ε⊗j␈↓ ↓d␈ελy␈↓ α∂␈ε⊗␈␈↓ α;␈ελT␈↓ αT␈ελy␈↓ αw␈ε⊗j␈↓ β→␈εα=␈α
2␈↓ βY␈ελa␈↓ ∧∩␈ε⊗j␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗␈␈↓ ∧c␈ελT␈↓ ∧|␈ελy␈↓ ¬∨␈ε⊗j␈↓ ¬@␈εα+␈αλ2␈↓ εC␈ελa␈↓ ε⎇␈ε⊗j␈↓ ππ␈ελT␈↓ π ␈ελx␈↓ πr␈ε⊗␈␈↓ λ≡␈ελT␈↓ λ7␈ελy␈↓ λZ␈ε⊗j␈↓ λ{␈ε⊗␈␈↓ 	'␈ελr
␈β
@␈↓ ↓u␈εn␈↓ αe␈εn␈↓ βj␈εn␈↓ β|␈ε¬,0␈↓ ¬
␈εn␈↓ εT␈εn␈↓ εf␈ε¬,␈↓ εn␈εk␈↓ π0␈εk␈↓ π?␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λH␈εn␈↓ 	3␈εn
␈β
d␈↓ ε∧␈εk␈↓ ε∩␈ε→∃␈ε¬1
␈β∞↓␈↓ εε␈ε↓X␈↓ 	∂␈ε↓X
␈β∞≡␈↓ ¬)␈ε¬2␈↓ λ2␈ε¬2␈↓ ∂␈ε¬2
␈β∞$␈↓ β→␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ βY␈ελa␈↓ ∧∩␈ε⊗j␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗␈␈↓ ∧c␈ελT␈↓ ∧|␈ελy␈↓ ¬∨␈ε⊗j␈↓ ¬@␈εα+␈αλ2␈↓ εC␈ελa␈↓ ε⎇␈ε⊗j␈↓ ππ␈ελx␈↓ πY␈ε⊗␈␈↓ λ¬␈ελy␈↓ λ(␈ε⊗j␈↓ λH␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ 	L␈ελa␈↓ 
¬␈ε⊗j␈↓ 
∂␈ελx␈↓ 
6␈ε⊗␈␈↓ 
b␈ελy␈↓ ¬␈ε⊗j
␈β∞1␈↓ βj␈εn␈↓ β|␈ε¬,0␈↓ ¬
␈εn␈↓ εT␈εn␈↓ εf␈ε¬,␈↓ εn␈εk␈↓ π↔␈εk␈↓ π&␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ⊗␈εn␈↓ 	]␈εn␈↓ 	o␈ε¬,␈↓ 	w␈εk␈↓ 
 ␈εk␈↓ 
s␈εn
␈β∞U␈↓ ε∧␈εk␈↓ ε∩␈ε→∃␈ε¬1␈↓ 	␈εk␈↓ 	≠␈ε→∃␈ε¬␈α␈0
␈β∞r␈↓ εε␈ε↓X
␈β∂∂␈↓ ¬)␈ε¬2␈↓ 	=␈ε¬2
␈β∂∃␈↓ β→␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ βY␈ελa␈↓ ∧∩␈ε⊗j␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗␈␈↓ ∧c␈ελT␈↓ ∧|␈ελy␈↓ ¬∨␈ε⊗j␈↓ ¬@␈εα+␈αλ2␈↓ ε=␈ε⊗f␈↓ εO␈ελa␈↓ π<␈ε⊗␈␈↓ πh␈ελa␈↓ λ!␈ε⊗gj␈↓ λ=␈ελx␈↓ λd␈ε⊗␈␈↓ 	⊂␈ελy␈↓ 	3␈ε⊗j
␈β∂"␈↓ βj␈εn␈↓ β|␈ε¬,0␈↓ ¬
␈εn␈↓ ε`␈εn␈↓ εr␈ε¬,␈↓ εz␈εk␈↓ π	␈ε¬+␈α␈1␈↓ πy␈εn␈↓ λ
␈ε¬,␈↓ λ∩␈εk␈↓ λN␈εk␈↓ 	!␈εn
␈β∂F␈↓ ε∧␈εk␈↓ ε∩␈ε→∃␈ε¬0
␈β∂⎇␈↓ ε(␈ε¬2
␈β⊂β␈↓ β→␈ε⊗∀␈α
f␈εα2␈↓ βk␈ελa␈↓ ∧,␈εα+␈αλ2␈↓ ∧j␈ελ␈
␈↓ ¬
␈ε⊗g␈↓ ¬%␈εαdiam␈↓ ¬s␈εα(␈↓ ¬␈␈ελC␈↓ ε≤␈εα)␈↓ εA␈ε⊗!␈εα␈α
0.
␈β⊂λ␈↓ π2␈∧⊂λπ2≠∂
␈β⊂⊂␈↓ β|␈εn␈↓ ∧∞␈ε¬,0␈↓ ∧{␈εn
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ βo␈ε∞nonlinea␈α␈r␈α
er␈α␈godic␈αth␈α␈eorems␈εα␈↓ 	u961
␈βα ␈↓ 
α␈ε→1
␈βα%␈↓ ↓l␈ε∞Definit␈α␈ion␈α∂1.␈εα␈α≥The␈α∂array␈ε⊗␈α∞f␈↓ ¬"␈ελa␈↓ ¬\␈ε⊗g␈εα␈α∞is␈α∞said␈α∂to␈α∞be␈ε∂␈α∂proper␈εα␈α∞if␈α∂for␈α∞each␈↓ 	x␈ελl␈↓ 
∨␈εα-
␈βα2␈↓ ¬3␈εn␈↓ ¬E␈ε¬,␈↓ ¬M␈εk
␈βα4␈↓ ∧V␈ε↓P␈↓ π8␈ε↓P
␈βαP␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈t␈ε⊗␈α
f␈↓ α]␈ελ␈␈↓ αs␈εα(␈↓ α␈␈ελk␈↓ β⊃␈εα)␈ε⊗g␈εα␈α
such␈αthat␈↓ ¬⊃␈ελa␈↓ ¬J␈ελ␈␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελk␈↓ ¬}␈εα)␈ε⊗␈α
!␈↓ εB␈ελ∞␈↓ εS␈εα,␈αthen␈↓ λβ␈ελa␈↓ λ<␈ελa␈↓ λo␈ελ␈␈↓ 	¬␈εα(␈ε⊗j␈↓ 	≠␈ελk␈↓ 	3␈ε⊗␈␈↓ 	]␈ελl␈↓ 	g␈ε⊗j␈εα)␈ε⊗␈α
!
␈βα↑␈↓ ¬!␈εn␈↓ ¬3␈ε¬,␈↓ ¬;␈εk␈↓ λ∀␈εn␈↓ λ&␈ε¬,␈↓ λ.␈εk␈↓ λM␈εn␈↓ λ←␈ε¬,␈↓ λg␈εl
␈βαc␈↓ ∧|␈εk␈↓ π↑␈εk␈↓ πm␈ε¬,␈↓ πu␈εl
␈βα{␈↓ ↓H␈ελ∞␈↓ ↓Y␈εα.
␈ββ'␈↓ ↓l␈εαCes␈↓ α&␈εα␈
␈↓ α&␈εαa␈↓ α8␈εαro␈α∞means␈α∂are␈α∞proper␈α∞in␈α∂this␈α∞sense,␈α∂as␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∂see␈α∞from␈α∞a␈α∂simple
␈ββR␈↓ ↓H␈εαcomputation,␈αas␈αare␈αother␈αfamiliar␈αsummation␈αmethods.
␈β∧
␈↓ ↓l␈ε∞Th␈α␈eorem␈α
2.␈ε∂␈α≠Suppose␈αin␈α
Theorem␈α
1␈α
that␈εα␈α0␈ε⊗␈α2␈↓ πD␈ελC␈↓ πa␈ε∂,␈↓ λε␈ελT␈↓ λ∨␈εα(0)␈α=␈α0␈ε∂␈α
and␈α
that
␈β∧8␈↓ ↓H␈ε∂for␈αsome␈↓ αZ␈ελc␈↓ αr␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈ε∂,␈↓ βU␈ελT␈↓ βz␈ε∂satis|es␈αfor␈αall␈↓ ¬h␈ελu␈↓ ¬}␈ε∂,␈↓ ε∀␈ελv␈↓ ε3␈ε∂the␈αinequality
␈β∧⎇␈↓ β\␈ε¬2␈↓ ¬∩␈ε¬2␈↓ ε∨␈ε¬2␈↓ π$␈ε¬2␈↓ λ
␈ε¬2␈↓ 	⊂␈ε¬2
␈β¬β␈↓ α9␈ε⊗j␈↓ αC␈ελT␈↓ α\␈ελu␈↓ αy␈εα+␈↓ β%␈ελT␈↓ β?␈ελv␈↓ βR␈ε⊗j␈↓ βt␈ε⊗∀␈α
j␈↓ ∧,␈ελu␈↓ ∧J␈εα+␈↓ ∧v␈ελv␈↓ ¬λ␈ε⊗j␈↓ ¬)␈εα+␈↓ ¬U␈ελc␈↓ ¬c␈ε⊗fj␈↓ ¬␈␈ελu␈↓ ε∃␈ε⊗j␈↓ ε5␈ε⊗␈␈αλj␈↓ εk␈ελT␈↓ π∧␈ελu␈↓ π~␈ε⊗j␈↓ π:␈εα+␈ε⊗␈αλj␈↓ πp␈ελv␈↓ λβ␈ε⊗j␈↓ λ#␈ε⊗␈␈αλj␈↓ λY␈ελT␈↓ λs␈ελv␈↓ 	ε␈ε⊗j␈↓ 	≡␈ε⊗g␈εα.␈↓ 
	␈εα(i)
␈β¬M␈↓ ↓H␈ε∂Suppose␈αthat␈ε⊗␈αf␈↓ β4␈ελa␈↓ βm␈ε⊗g␈ε∂␈αis␈αproper␈αin␈αthe␈αsense␈αof␈αDe|nition␈α1␈αand␈αthat
␈β¬Z␈↓ βD␈εn␈↓ βV␈ε¬,␈↓ β↑␈εk
␈β¬y␈↓ βE␈ε↓X
␈βε≤␈↓ ∧↓␈ε⊗j␈↓ ∧␈ελa␈↓ ∧x␈ε⊗␈␈↓ ¬$␈ελa␈↓ ¬]␈ε⊗j␈α
!␈εα␈α
0␈↓ εy(␈↓ π¬␈ελn␈↓ π%␈ε⊗!␈εα␈α
+␈ε⊗1␈εα).
␈βε*␈↓ ∧≤␈εn␈↓ ∧.␈ε¬,␈↓ ∧6␈εk␈↓ ∧E␈ε¬+␈α␈1␈↓ ¬5␈εn␈↓ ¬G␈ε¬,␈↓ ¬O␈εk
␈βεN␈↓ βB␈εk␈↓ βP␈ε→∃␈ε¬0
␈βπ≡␈↓ ↓H␈ε∂Then␈↓ α&␈ελA␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελx␈↓ αm␈εα)␈ε∂␈αcon␈α␈v␈α␈erges␈αstrongly.
␈βπ+␈↓ α=␈εn
␈βπY␈↓ ↓l␈εαObviously␈α(i)␈αwill␈αhold␈αwith␈↓ ¬,␈ελc␈↓ ¬D␈εα=␈α
0␈αif␈↓ ε2␈ελC␈↓ εY␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ π+␈ελC␈↓ πT␈εαand␈↓ λ~␈ελT␈↓ λ@␈εαis␈αodd.
␈βλ∃␈↓ ↓l␈ε∞Lemma␈α⊂2.␈ε∂␈α"Let␈ε⊗␈α∩f␈↓ ∧α␈ελx␈↓ ∧∨␈ε⊗g␈ε∂␈α⊃be␈α⊃a␈α⊃bounded␈α∩in|nite␈α⊃sequence␈α⊃in␈↓ λy␈ελH␈↓ 	⊗␈ε∂,␈ε⊗␈α#j␈↓ 	M␈ελx␈↓ 	j␈ε⊗j␈α∪∀
␈βλ"␈↓ ∧∩␈εj␈↓ 	]␈εj
␈βλ$␈↓ αk␈ε↓P
␈βλ@␈↓ ↓H␈ελd␈↓ ↓g␈ε∂,␈↓ α␈ελy␈↓ α;␈εα=␈↓ βQ␈ελa␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧6␈ε∂where␈ε⊗␈α
f␈↓ ¬1␈ελa␈↓ ¬k␈ε⊗g␈ε∂␈α
is␈α
an␈α
array␈α
as␈α
in␈α∞the␈α
h␈α␈ypothesis␈α
of
␈βλM␈↓ ↓X␈ε¬0␈↓ α≥␈εn␈↓ βa␈εn␈↓ βs␈ε¬,␈↓ β{␈εk␈↓ ∧~␈εk␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬T␈ε¬,␈↓ ¬\␈εk
␈βλS␈↓ β⊃␈εk␈↓ β∨␈ε→∃␈ε¬0
␈βλk␈↓ ↓H␈ε∂Theorem␈α
2.␈α⊃Suppose␈α
that␈↓ ∧k␈ελy␈↓ ¬_␈ε∂con␈α␈v␈α␈erges␈α
w␈α␈eakly␈α∞to␈↓ πc␈ελy␈↓ λ¬␈ε∂and␈α
that␈εα␈α∞(␈↓ 	(␈ελx␈↓ 	F␈εα,␈↓ 	V␈ελx␈↓ 
∨␈εα)
␈βλx␈↓ ∧|␈εk␈↓ 	8␈εj␈↓ 	f␈εj␈↓ 	t␈ε¬+␈↓ 
⊂␈εk
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε∂con␈α␈v␈α␈erges␈αλto␈↓ β
␈ελq␈↓ β≡␈εα(␈↓ β*␈ελk␈↓ β;␈εα)␈ε∂␈αλas␈↓ βw␈ελj␈↓ ∧⊃␈ε⊗!␈εα␈α
+␈ε⊗1␈ε∂,␈α	uniformly␈αλin␈↓ εb␈ελk␈↓ εt␈ε∂.␈α
Then␈↓ πb␈ελy␈↓ λ
␈ε∂con␈α␈v␈α␈erges␈αλstrongly
␈β	$␈↓ πs␈εn
␈β	A␈↓ ↓H␈ε∂to␈↓ ↓t␈ελy␈↓ αλ␈ε∂.
␈β	a␈↓ ππ␈ε↓P
␈β	x␈↓ 	I␈ε¬2
␈β	⎇␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof␈α∂of␈α∞Lemma␈α∂2:␈εα␈α≥We␈α∂|rst␈α∂sho␈α␈w␈α∞that␈↓ πm␈ελa␈↓ λ&␈ελq␈↓ λ6␈εα(␈↓ λB␈ελk␈↓ λT␈εα)␈ε⊗␈α∞!␈α∞j␈↓ 	*␈ελy␈↓ 	?␈ε⊗j␈↓ 	W␈εα.␈α∀Let
␈β

␈↓ π⎇␈εn␈↓ λ∂␈ε¬,␈↓ λ↔␈εk
␈β
⊂␈↓ π-␈εk␈↓ π;␈ε→∃␈ε¬0
␈β
(␈↓ ↓H␈ελ∂␈↓ ↓f␈εα>␈α⊃0␈α⊂be␈α⊂giv␈α␈en.␈α↔We␈α⊂may␈α⊂|nd␈↓ ¬I␈ελj␈↓ ¬Z␈εα(␈↓ ¬f␈ελ∂␈↓ ¬t␈εα)␈α⊂such␈α⊂that␈α∂for␈↓ πs␈ελj␈↓ λ∀␈ε⊗∃␈↓ λI␈ελj␈↓ λY␈εα(␈↓ λe␈ελ∂␈↓ λs␈εα)␈α⊂and␈α⊂all␈↓ 
∂␈ελk␈↓ 
!␈εα,
␈β
S␈↓ ↓H␈ε⊗j␈εα(␈↓ ↓↑␈ελx␈↓ ↓{␈εα,␈↓ α␈ελx␈↓ αU␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β∃␈ελq␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελk␈↓ βB␈εα)␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ ∧⊂␈ελ∂␈↓ ∧≡␈εα.␈αWe␈αnote␈αthat
␈β
a␈↓ ↓n␈εj␈↓ α≤␈εj␈↓ α)␈ε¬+␈↓ αF␈εk
␈β∨␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧D␈ε↓␈
␈β/␈↓ πε␈εj␈↓ π∪␈ε→␈␈ε¬1
␈β1␈↓ β⊂␈ε↓X␈↓ πλ␈ε↓X
␈β5␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧D␈ε↓␈
␈βJ␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧D␈ε↓␈
␈βN␈↓ λ∩␈ε¬2
␈βT␈↓ α␈εα(␈↓ α␈ελx␈↓ α)␈εα,␈↓ α9␈ελy␈↓ αN␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ βM␈ελa␈↓ ∧ε␈ελq␈↓ ∧↔␈εα(␈↓ ∧#␈ελk␈↓ ∧4␈εα)␈↓ ∧↑␈ε⊗∀␈α
j␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬@␈εα,␈↓ ¬P␈ελy␈↓ ¬l␈ε⊗␈␈↓ ε_␈ελy␈↓ ε;␈εα)␈ε⊗j␈εα␈αλ+␈↓ πE␈ελa␈↓ π}␈ελd
␈β`␈↓ ↓p␈ε↓␈␈↓ ∧D␈ε↓␈
␈βb␈↓ α≤␈εj␈↓ β↑␈εn␈↓ βp␈ε¬,␈↓ βx␈εk␈↓ ¬3␈εj␈↓ ε)␈εn␈↓ πV␈εn␈↓ πh␈ε¬,␈↓ πp␈εk
␈βf␈↓ λ∩␈ε¬0
␈βε␈↓ β∞␈εk␈↓ β≤␈ε→∃␈ε¬0␈↓ π¬␈εk␈↓ π∀␈ε¬=0
␈β&␈↓ αu␈ε↓X␈↓ εv␈ε↓X
␈βI␈↓ αH␈εα+␈↓ β2␈ε⊗j␈↓ β<␈ελa␈↓ ∧'␈ε⊗␈␈↓ ∧S␈ελa␈↓ ¬␈ε⊗j␈αεj␈εα(␈↓ ¬2␈ελx␈↓ ¬P␈εα,␈↓ ¬`␈ελx␈↓ ε)␈εα)␈ε⊗j␈εα␈αλ+␈↓ π3␈ελa␈↓ πl␈ε⊗j␈↓ πv␈ελq␈↓ λε␈εα(␈↓ λ∩␈ελk␈↓ λ$␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	∞␈εα,␈↓ 	≡␈ελx␈↓ 	g␈εα)␈ε⊗j␈εα.
␈βV␈↓ βL␈εn␈↓ β↑␈ε¬,␈↓ βf␈εk␈↓ βu␈ε¬+␈↓ ∧∩␈εj␈↓ ∧d␈εn␈↓ ∧v␈ε¬,␈↓ ∧}␈εk␈↓ ¬C␈εj␈↓ ¬q␈εj␈↓ ¬}␈ε¬+␈↓ ε≠␈εk␈↓ πD␈εn␈↓ πV␈ε¬,␈↓ π↑␈εk␈↓ 	␈εj␈↓ 	.␈εj␈↓ 	<␈ε¬+␈↓ 	X␈εk
␈βz␈↓ αr␈εk␈↓ β␈ε→∃␈ε¬0␈↓ εs␈εk␈↓ πα␈ε→∃␈ε¬␈α␈0
␈β
J␈↓ ↓H␈εαIf␈αw␈α␈e␈αchoose␈↓ β∪␈ελj␈↓ β.␈ε⊗∃␈↓ β\␈ελj␈↓ βl␈εα(␈↓ βx␈ελ∂␈↓ ∧ε␈εα)␈αand␈α
then␈↓ ¬7␈ελn␈↓ ¬W␈ε⊗∃␈↓ ε¬␈ελn␈↓ ε≠␈εα(␈↓ ε'␈ελ∂␈↓ ε5␈εα,␈↓ εE␈ελj␈↓ εU␈εα),␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αthat␈α
w␈α␈e␈αcan␈αmak␈α␈e
␈β
Z␈↓ αX␈ε↓P
␈β
v␈↓ ↓H␈ε⊗j␈εα(␈↓ ↓↑␈ελx␈↓ ↓{␈εα,␈↓ α␈ελy␈↓ α ␈εα)␈ε⊗␈α∧␈␈↓ β=␈ελa␈↓ βw␈ελq␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελk␈↓ ∧$␈εα)␈ε⊗j␈εα␈α
<␈α
2␈↓ ¬∧␈ελ∂␈↓ ¬∩␈εα.␈αHence␈α
for␈↓ εD␈ελj␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελj␈↓ π	␈ε⊗∃␈↓ π7␈ελj␈↓ πH␈εα(␈↓ πT␈ελ∂␈↓ πb␈εα),␈ε⊗␈α∩j␈εα(␈↓ λ ␈ελx␈↓ λ>␈εα,␈↓ λN␈ελy␈↓ λb␈εα)␈ε⊗␈α∧␈␈εα␈α∧(␈↓ 	&␈ελx␈↓ 	M␈εα,␈↓ 	]␈ελy␈↓ 	q␈εα)␈α
<
␈β∞β␈↓ ↓n␈εj␈↓ βN␈εn␈↓ β`␈ε¬,␈↓ βh␈εk␈↓ εq␈ε¬1␈↓ λ0␈εj␈↓ 	6␈εj
␈β∞¬␈↓ π≡␈ε↓P
␈β∞λ␈↓ α}␈εk␈↓ β␈ε→∃␈ε¬0
␈β∞␈↓ 	A␈επ1
␈β∞!␈↓ ↓H␈εα4␈↓ ↓Z␈ελ∂␈↓ ↓h␈εα.␈αTh␈α␈us␈α
(␈↓ αb␈ελx␈↓ β␈εα,␈↓ β⊂␈ελy␈↓ β$␈εα)␈α
con␈α␈v␈α␈erges␈α	as␈↓ ¬β␈ελj␈↓ ¬≡␈ε⊗!␈α
1␈εα,␈α
and␈α
since␈↓ λα␈ελa␈↓ λ:␈εα(␈↓ λF␈ελx␈↓ λd␈εα,␈↓ λt␈ελy␈↓ 	λ␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ 	X␈ελy␈↓ 	{␈εα,␈↓ 
␈ελy␈↓ 
∨␈εα)
␈β∞.␈↓ αr␈εj␈↓ λ∪␈εn␈↓ λ%␈ε¬,␈↓ λ-␈εj␈↓ λV␈εj␈↓ 	i␈εn
␈β∞4␈↓ πD␈εj␈↓ πQ␈ε→∃␈ε¬0
␈β∞N␈↓ π→␈ε¬2
␈β∞S␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ust␈αcon␈α␈v␈α␈erge␈α
to␈α
the␈αsame␈α
limit,␈α
(␈↓ ¬i␈ελx␈↓ επ␈εα,␈↓ ε↔␈ελy␈↓ ε+␈εα)␈ε⊗␈α!␈αj␈↓ ε{␈ελy␈↓ π∂␈ε⊗j␈↓ π'␈εα.␈α∞Th␈α␈us␈α
for␈α
a␈αlarge␈α
choice
␈β∞`␈↓ ¬y␈εj
␈β∞}␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελj␈↓ α∞␈εαand␈↓ αT␈ελn␈↓ αt␈ε⊗∃␈↓ β"␈ελn␈↓ β7␈εα(␈↓ βC␈ελ∂␈↓ βQ␈εα,␈↓ βa␈ελj␈↓ βr␈εα),
␈β∂)␈↓ ∧'␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓␈
␈β∂;␈↓ ∧?␈ε↓X
␈β∂>␈↓ ∧'␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓␈
␈β∂T␈↓ ∧'␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓␈
␈β∂X␈↓ εL␈ε¬2
␈β∂↑␈↓ ∧|␈ελa␈↓ ¬6␈ελq␈↓ ¬F␈εα(␈↓ ¬R␈ελk␈↓ ¬c␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈αλj␈↓ ε-␈ελy␈↓ εB␈ε⊗j␈↓ εx␈εα<␈α
4␈↓ π8␈ελ∂␈↓ πF␈εα,
␈β∂i␈↓ ∧'␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓␈
␈β∂k␈↓ ¬
␈εn␈↓ ¬∨␈ε¬,␈↓ ¬'␈εk
␈β⊂∂␈↓ ∧=␈εk␈↓ ∧K␈ε→∃␈ε¬0
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα962␈ε∞␈↓ ∧qbr␈↓ ¬↔␈ε∞∞␈↓ ¬↔␈ε∞e␈↓ ¬)␈ε∞zis␈αa␈α␈nd␈αbro␈α␈wder
␈βαπ␈↓ α␈ε↓P
␈βα≡␈↓ ∧E␈ε¬2
␈βα#␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈↓ αq␈ελa␈↓ β+␈ελq␈↓ β;␈εα(␈↓ βG␈ελk␈↓ βX␈εα)␈ε⊗␈α
!␈α
j␈↓ ∧&␈ελy␈↓ ∧;␈ε⊗j␈↓ ∧S␈εα.
␈βα0␈↓ βα␈εn␈↓ β∀␈ε¬,␈↓ β≤␈εk
␈βα5␈↓ α2␈εk␈↓ α@␈ε→∃␈ε¬0
␈βαO␈↓ λa␈ε¬2␈↓ 	Q␈ε¬2
␈βαU␈↓ ↓l␈εαTo␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈α
lemma,␈αit␈α
su}ces␈αto␈α
sho␈α␈w␈αthat␈↓ π6␈εαlim␈αεsup␈↓ λ*␈ε⊗j␈↓ λ4␈ελy␈↓ λW␈ε⊗j␈↓ λz␈ε⊗∀␈αj␈↓ 	3␈ελy␈↓ 	G␈ε⊗j␈↓ 	`␈εα.␈α
We
␈βαb␈↓ λE␈εn
␈βαd␈↓ β∨␈ε↓P
␈βα{␈↓ αU␈ε¬2
␈ββ␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈ε⊗␈α
j␈↓ α(␈ελy␈↓ αK␈ε⊗j␈↓ αo␈εα=␈↓ ∧∀␈ελa␈↓ ∧N␈ελa␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬2␈εα,␈↓ ¬B␈ελx␈↓ ¬Z␈εα).␈α⊂From␈α
the␈α
assumption␈α
of␈α
Lemma␈α
2,
␈ββ
␈↓ α9␈εn␈↓ ∧%␈εn␈↓ ∧7␈ε¬,␈↓ ∧?␈εk␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧p␈ε¬,␈↓ ∧x␈εl␈↓ ¬#␈εk␈↓ ¬R␈εl
␈ββ∪␈↓ βE␈εk␈↓ βS␈ε¬,␈↓ β[␈εl␈↓ βc␈ε→∃␈ε¬0
␈ββ+␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αεhav␈α␈e␈↓ αK␈ε⊗j␈↓ αY␈εα(␈↓ αe␈ελx␈↓ β∧␈εα,␈↓ β∀␈ελx␈↓ β,␈εα)␈ε⊗␈α↓␈␈↓ β↑␈ελq␈↓ βn␈εα(␈ε⊗j␈↓ ∧∧␈ελk␈↓ ∧⊗␈ε⊗␈␈↓ ∧;␈ελl␈↓ ∧E␈ε⊗j␈εα)␈↓ ∧←␈ε⊗j␈↓ ∧w␈εα<␈↓ ¬%␈ελ∂␈↓ ε≠␈εαwhere␈↓ ε⎇␈ελ∂␈↓ π#␈ε⊗!␈εα␈α
0␈απas␈↓ λ⊂␈ελp␈↓ λ-␈ε⊗!␈α
1␈εα.␈α
Therefore
␈ββ8␈↓ αu␈εk␈↓ β$␈εl␈↓ π
␈εp
␈ββ9␈↓ ¬2␈ε¬min␈↓ ¬b␈ε¬(␈↓ ¬l␈εk␈↓ ¬z␈ε¬,␈↓ εα␈εl␈↓ ε
␈ε¬)
␈ββe␈↓ βi␈ε↓X␈↓ εk␈ε↓X
␈β∧α␈↓ β_␈ε¬2
␈β∧λ␈↓ αa␈ε⊗j␈↓ αk␈ελy␈↓ β∞␈ε⊗j␈↓ β0␈ε⊗∀␈↓ ∧.␈ελa␈↓ ∧h␈ελa␈↓ ¬ ␈ελq␈↓ ¬1␈εα(␈ε⊗j␈↓ ¬G␈ελk␈↓ ¬`␈ε⊗␈␈↓ ε␈ελl␈↓ ε⊗␈ε⊗j␈εα)␈αλ+␈↓ π0␈ελa␈↓ πj␈ελa␈↓ λ"␈ελ∂
␈β∧⊗␈↓ α|␈εn␈↓ ∧?␈εn␈↓ ∧Q␈ε¬,␈↓ ∧Y␈εk␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬
␈ε¬,␈↓ ¬∩␈εl␈↓ πA␈εn␈↓ πS␈ε¬,␈↓ π[␈εk␈↓ πz␈εn␈↓ λ␈ε¬,␈↓ λ∀␈εl␈↓ λ/␈ε¬min␈↓ λ←␈ε¬(␈↓ λi␈εk␈↓ λx␈ε¬,␈↓ 	␈εl␈↓ 	λ␈ε¬)
␈β∧:␈↓ β↑␈εk␈↓ βm␈ε¬,␈↓ βu␈εl␈↓ β⎇␈ε→∃␈ε¬0␈↓ ε`␈εk␈↓ εo␈ε¬,␈↓ εw␈εl␈↓ ε␈␈ε→∃␈ε¬0
␈β∧V␈↓ βi␈ε↓X␈↓ ε{␈ε↓X
␈β∧y␈↓ β0␈ε⊗∀␈↓ ∧.␈ελa␈↓ ∧h␈ελa␈↓ ¬ ␈ελq␈↓ ¬1␈εα(␈ε⊗j␈↓ ¬G␈ελk␈↓ ¬`␈ε⊗␈␈↓ ε␈ελl␈↓ ε⊗␈ε⊗j␈εα)␈αλ+␈αλ2␈↓ π8␈ελa␈↓ πq␈ελ∂␈↓ λ
␈εα.
␈β¬π␈↓ ∧?␈εn␈↓ ∧Q␈ε¬,␈↓ ∧Y␈εk␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬
␈ε¬,␈↓ ¬∩␈εl␈↓ πI␈εn␈↓ π[␈ε¬,␈↓ πc␈εk␈↓ π}␈εk
␈β¬+␈↓ β↑␈εk␈↓ βm␈ε¬,␈↓ βu␈εl␈↓ β⎇␈ε→∃␈ε¬0␈↓ εx␈εk␈↓ ππ␈ε→∃␈ε¬0
␈βε¬␈↓ πC␈ε¬2␈↓ λ1␈ε¬2
␈βε␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α&␈ελa␈↓ αk␈εαis␈αproper␈αw␈α␈e␈αconclude␈αthat␈↓ ε_␈εαlim␈αεsup␈↓ π␈ε⊗j␈↓ π⊗␈ελy␈↓ π9␈ε⊗j␈↓ π[␈ε⊗∀␈α
j␈↓ λ∪␈ελy␈↓ λ'␈ε⊗j␈↓ λ@␈εα.
␈βε⊂␈↓ λq␈∧ε⊂λq≠∂
␈βε_␈↓ α6␈εn␈↓ αH␈ε¬,␈↓ αP␈εk␈↓ π'␈εn
␈βεH␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof␈α_of␈α↔Theorem␈α_2:␈εα␈α.It␈α_follo␈α␈ws␈α↔from␈α_the␈α_inequality␈α↔(i)␈α_that
␈βεn␈↓ εq␈ε¬2
␈βεs␈↓ ↓H␈ε⊗j␈εα(␈↓ ↓↑␈ελx␈↓ α%␈εα,␈↓ α5␈ελx␈↓ β'␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈εα␈α	(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧∪␈εα,␈↓ ∧#␈ελx␈↓ ∧l␈εα)␈ε⊗j␈α∀␈εα␈α
(␈↓ ¬K␈ελc␈↓ ¬b␈εα+␈α	1)␈ε⊗fj␈↓ εI␈ελx␈↓ εg␈ε⊗j␈↓ πλ␈ε⊗␈␈↓ π5␈ελq␈↓ πE␈εα(0)␈ε⊗g␈α
!␈εα␈α0␈α∞as␈↓ 	␈ελj␈↓ 	(␈ε⊗!␈εα␈α
+␈ε⊗1␈εα.
␈βπ␈↓ ↓n␈εj␈↓ ↓{␈ε¬+␈↓ α_␈εs␈↓ αE␈εj␈↓ αR␈ε¬+␈↓ αo␈εk␈↓ α}␈ε¬+␈↓ β≠␈εs␈↓ ∧ε␈εj␈↓ ∧3␈εj␈↓ ∧A␈ε¬+␈↓ ∧]␈εk␈↓ εZ␈εj
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εαHence␈αw␈α␈e␈αmay␈αapply␈αLemma␈α2␈αto␈αobtain␈αTheorem␈α2.
␈βπ#␈↓ λ2␈∧π#λ2≠∂
␈βλ¬␈↓ ¬_␈ε∞References
␈βλY␈↓ ↓l␈ε∀1.␈↓ α⊂␈ε≡J-B␈α↓.␈α∧B␈α↓ai␈α␈llon␈α↓,␈ε∧␈α¬U␈α↓n␈α¬th␈↓ ∧(␈ε∧∞␈↓ ∧)␈ε∧e␈↓ ∧6␈ε∧o␈α↓r␈↓ ∧Q␈ε∧␈
␈↓ ∧R␈ε∧e␈↓ ∧←␈ε∧me␈α¬de␈α¬type␈α¬e␈α␈rgo␈α↓di␈α␈q␈α↓ue␈α¬pour␈α¬le␈α␈s␈αεc␈α␈ontr␈α␈a␈α↓c␈α␈tions␈α¬no␈α↓n␈α¬li␈α␈n␈↓ 	←␈ε∧∞␈↓ 	`␈ε∧e␈↓ 	n␈ε∧ai␈α␈res
␈βλ⎇␈↓ α⊂␈ε∧dans␈α
un␈α
e␈α␈spa␈α↓c␈α␈e␈α
de␈αHil␈α␈bert,␈ε⊃␈α
C.␈αR.␈αA␈α↓c␈α␈ad.␈α
Sci␈α␈.␈αParis␈α
S␈↓ πY␈ε⊃∞␈↓ πZ␈ε⊃e␈↓ πg␈ε⊃r.␈α∩A-B␈ε∀␈α∞280␈ε∧␈α↓,␈α
no.␈α∩22␈α↓,␈α
Ai␈α␈i
␈β	!␈↓ α⊂␈ε∧(197␈α↓5),␈α
A15␈α↓11↑␈α↓A151␈α↓4.
␈β	E␈↓ ↓l␈ε∀2.␈↓ α⊂␈ε≡J-B␈α↓.␈αλBaill␈α␈o␈α↓n,␈ε∧␈α	Que␈α␈lques␈αλpropri␈↓ ¬8␈ε∧∞␈↓ ¬9␈ε∧e␈↓ ¬F␈ε∧tes␈α	de␈αλcon␈α␈v␈α␈ergenc␈α␈e␈α	asym␈α␈pto␈α↓ti␈α␈que␈α	pour␈α	l␈α␈es␈α	c␈α␈o␈α↓n-
␈β	i␈↓ α⊂␈ε∧tr␈α␈a␈α↓c␈α␈tions␈α
im␈α␈paire␈α␈s,␈ε⊃␈α
C.␈α
R␈α␈.␈α
Acad.␈α
Sc␈α␈i.␈α
P␈α␈a␈α↓ri␈α␈s␈ε∧,␈α
to␈α
appear.
␈β

␈↓ ↓l␈ε∀3.␈↓ α⊂␈ε≡Z␈α␈.␈α
O␈α␈pia␈α␈l␈α↓,␈ε∧␈α	We␈α␈a␈α↓k␈α	con␈α␈ve␈α␈rgence␈α	of␈α
the␈α
se␈α␈quence␈α	of␈α
the␈α
suc␈α␈ce␈α␈ssiv␈α␈e␈α	a␈α↓ppr␈α␈oxi␈α␈mations
␈β
1␈↓ α⊂␈ε∧for␈αλno␈α↓ne␈α␈xpa␈α↓ns␈α␈iv␈α␈e␈αλm␈α␈a␈α↓ppi␈α␈ng␈α↓s␈αλi␈α␈n␈α	Bana␈α↓c␈α␈h␈αλspa␈α↓c␈α␈es,␈ε⊃␈αλBull␈α␈.␈αλAme␈α␈r.␈αλMath.␈αλSoc.␈ε∀␈αλ73␈ε∧␈α	(19␈α↓67),
␈β
U␈↓ α⊂␈ε∧591␈α↓↑597␈α↓.
␈β
y␈↓ ↓l␈ε∀4.␈↓ α⊂␈ε≡F.␈α
Ha␈α␈usdorff,␈ε∧␈α
\Set␈α
Theory,"␈α
Che␈α␈lse␈α␈a␈α↓,␈α	New␈α
Yo␈α↓r␈α␈k,␈α
19␈α↓62.
␈β⊂∨␈↓ β"␈ε∧Pri␈α␈nt␈α␈ed␈α
by␈αt␈α␈he␈α
St␈α
Anf␈α↓ord␈α
Pre␈α␈ss␈α
L␈α↓td.␈α␈,␈α
Arastradero␈α
10␈α↓63,␈α
Pro␈α␈vide␈α␈nce␈α␈.
␈β∩⎇/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=PSXX/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=
'()+,-.0123469;<=>BCFHILOSTW[]abcdefghiklmnopqrstuvwxy|}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=
∞"'(),-.012345679=ABCHILMNPQRSTUWY[\]↑abcdefghiklmnopqrstuvwxy||/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,012=imnn/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=,.0126789=ACIJLNPRTVYabcdefghiklmnoprstuvwyy/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=1ACDEFHILMNOPRTUYY/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=
∞∂ACFHKTacdfgjklmnpqruvxyy/FONT#10=cmi8[XGP,SYS]=ATaa/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∂ijklmnpss/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=Pcdeiknortvv/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=ss/FONT#14=cmcsc[fnt,dek]=∞.12:BDEFHLOPRTabcdefghilmnoprstwzz/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=,.12;ADFHLSTabcdefghiklmnopqrstuvwxy||/FONT#17=cms8[XGP,SYS]=∞,-.0367ABCDIMPRSUabcdefghilmnoprstuvwxyy/FONT#20=cmb8[XGP,SYS]=.01234788/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=∀∃!12fgjj/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=∀∀/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=∃11/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=∃1⎇⎇/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=ENTacdeghilmnorss/FONT#30=cmcsc8[fnt,dek]=,-.BFHJOZadfilnoprsuu